La derivada como un límite

Definición analítica de derivada como un límite



Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x".

En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la linea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.

Esta definicion, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

f'(x)=\lim_{h\rightarrow x} \frac{f(x) - f(h)}{x - h}

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de h, en la cual es posible cancelar siempre el factor " x - h " en lugar de solo h. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte más conveniente.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a (varios autores prefieren utilizar la notación "xo" en lugar de a) se define como sigue:

f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el cálculo de límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo cual sería muy laborioso), existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de una función de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez. Tales reglas se deducen sucesivamente de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

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